Um guia intuitivo e visual para os números imaginários

Tradução de A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers – BetterExplained

Os números imaginários sempre me confundiram. Como acontece com o número $e$ (understanding e), a maioria das explicações cai em uma de duas categorias:

É uma abstração matemática, e as equações funcionam. Aceite e pronto.
É utilizado em Física avançada, confie em nós. Espere até a universidade.

Puxa, que excelente maneira de encorajar a Matemática entre os jovens! Hoje, entretanto, iremos atacar este tópico com nossas ferramentas favoritas:

Focando em relações, não em fórmulas mecânicas.
Vendo os números complexos como um upgrade do nosso sistema numérico, assim como foram o zero, os decimais e os números negativos.
Usando diagramas visuais, e não somente textos para entender a ideia.

E com a nossa arma secreta: aprender por analogias. Abordaremos os números imaginários pela observação dos seus antecessores, os números negativos. Aqui está o seu “livro guia”:

Ele pode não fazer sentido ainda, mas espere só um pouquinho. No fim deste post, você vai conseguir dar um nó no número $i$ , ao invés do contrário.

Entendendo realmente números negativos

Números negativos não são fáceis. Imagine que você seja um matemático europeu do século XVIII. Você tem o 3 e o 4, e você sabe que pode escrever 4 – 3 = 1. Simples.

Mas o que dizer de 3 – 4? O que, exatamente, isso quer dizer? Como você pode tirar 4 vacas de 3? Como você poderia ter algo menor do que nada?

Os negativos eram considerados absurdos, alguma coisa que “obscurecia todo o conjunto de doutrinas das equações” (Francis Maseres, 1759). Contudo, atualmente seria absurdo pensar que os números negativos não são lógicos ou úteis. Pergunte ao seu professor se eles corrompem as bases profundas da Matemática.

O que aconteceu então? Nós inventamos um número teórico que tinha propriedades úteis. Os negativos não são algo que você pode tocar ou segurar, mas eles descrevem bem certas relações (como as nossas finanças pessoais). Eles foram (são) uma ficção útil.

Em vez de dizer “eu te devo 30” e ficar lendo essas palavras para ver se eu estou no positivo ou negativo, posso escrever simplesmente “-30” e saber que estou no buraco. Se eu devo dinheiro e pago meus débitos (-30 + 100 = 70), posso anotar a transação facilmente. Eu fico com +70 depois, o que significa que estou tranquilo com o dinheiro.

Os sinais positivos e negativos automaticamente mantém o registro da direção (e do sentido) — você não precisa de uma frase para descrever o impacto de cada transação. A Matemática se torna mais fácil, mais elegante. Não importa se os números negativos eram “intangíveis” — eles tinham propriedades úteis, e nós os usamos até eles se tornarem ferramentas do dia a dia. Hoje você pode usar palavras obscenas com alguém se ele não “entender” os negativos.

Mas não sejamos presunçosos sobre o embate: os números negativos foram uma grande mudança mental. Até mesmo Euler, o gênio que descobriu o número $e$ e muito mais, não entendeu os negativos como os entendemos hoje. Eles eram considerados resultados “sem sentido” (Mais tarde Euler resolveu o problema com estilo).

É um testemunho do nosso potencial mental a certeza de que os nossos jovens conseguem entender conceitos que uma vez confundiram grandes matemáticos da antiguidade.

Adentrando os números imaginários

Os números imaginários têm uma história similar. Podemos resolver por todo o dia equações como esta:

$x^2=9$

As respostas são 3 e -3. Mas suponha que algum espertalhão insira na equação um pequenino, minúsculo sinal de menos:

$x^2=-9$

Ô, ou… Esta questão faz a maioria das pessoas estremecer na primeira vez que elas a veem. Você quer a raiz quadrada de um número menor do que zero? Isso é um absurdo!

Pode parecer uma maluquice mesmo, assim como os números negativos, o zero e os irracionais também pareceram no começo. Não há significado “real” para esta questão, certo?

Errado. Os chamados “números imaginários” são tão normais quanto qualquer outro número (ou tão falsos): eles são uma ferramenta para descrever o mundo. No mesmo espírito de assumir -1, 0,3, e 0 como “existentes”, vamos assumir que existe um número $i$ e que:

$i^2=-1$

Isto é, você multiplica $i$ por ele mesmo e recebe $-1$ . O que acontece agora?

Bem, primeiro você fica com dor de cabeça. Ao brincar de “vamos imaginar que $i$ exista”, a Matemática torna-se mais fácil e elegante. Novos relacionamentos emergem e podemos descrevê-los sem problemas.

Você pode não acreditar no $i$ , como aqueles velhos matemáticos antiquados não acreditaram no -1. Conceitos novos e desafiantes são difíceis de pegar; eles não fazem sentido imediatamente, mesmo para o grande Euler. Mas como os números negativos nos mostraram, conceitos estranhos podem ainda ser úteis.

Eu não gosto do termo “número imaginário” — ele foi considerado um insulto, uma censura, pensada para ferir os sentimentos do pobre $i$ . Ele é tão normal quanto qualquer outro número, mas o nome “imaginário” pegou, então iremos usá-lo.

Compreensão visual dos negativos e dos complexos

Como vimos da última vez, a equação $x^2 = 9$ realmente significa:

$1 \cdot x^2=9$

$1 \cdot x \cdot x=9$

Qual transformação $x$ , quando aplicada duas vezes, torna 1 em 9?

As duas respostas são $x=3$ e $x=-3$ . Isto é, você pode “escalar por” 3 ou “escalar por 3 e girar” (girar ou tomar o negativo é uma interpretação de multiplicar por um negativo).

Agora vamos pensar sobre $x^2=-1$ , que na verdade é

$1 \cdot x \cdot x = -1$

Qual transformação $x$ , quando aplicada duas vezes, torna 1 em -1?

Não podemos multiplicar por um positivo duas vezes porque o resultado continua positivo;
Não podemos multiplicar por um negativo porque o resultado irá girar de volta para positivo na segunda multiplicação.

E que tal… uma rotação! Pode soar maluquice, mas se pudermos imaginar $x$ como sendo uma “rotação de 90 graus”, então ao aplicar $x$ duas vezes, teremos uma rotação de 180 graus, ou um giro de 1 para -1!

Uôa! E se pensarmos mais sobre isso, poderíamos rotar duas vezes no outro sentido (horário) para tornar 1 em -1. Essa é uma rotação “negativa” ou uma multiplicação por $-i$ :

Se multiplicarmos $-i$ duas vezes, a primeira multiplicação transformará 1 em $-i$ , e a segunda transformará $-i$ em -1. Então, na realidade, existem duas raízes quadradas para -1: $i$ e $-i$ .

Isso é muito legal. Temos uma espécie de resposta, mas o que ela significa?

$i$ é uma “nova dimensão imaginária” para medir um número;
$i$ (ou $-i$ ) é o que os números se tornam quando rotacionados;
Multiplicar por $i$ é igual a uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário;
Multiplicar por $-i$ é uma rotação de 90 graus no sentido horário;
Duas rotações em cada direção leva à -1: ela nos leva de volta às dimensões “usuais” dos números positivos e negativos.

Os números são bidimensionais. Sim, é de bagunçar a cabeça, assim como os decimais ou divisões longas seriam confusos para um antigo romano. (O que você quer dizer com um número entre 1 e 2)? É um jeito novo e estranho de pensar a Matemática.

Perguntamos “como transformamos 1 em -1 em dois passo?” e encontramos uma resposta: rodando 90 graus. É um jeito novo e e estranho de pensar a Matemática. Mas é útil. (A propósito, esta interpretação geométrica dos números complexos só apareceu décadas depois do $i$ ter sido descoberto).

E também, mantenha em mente que considerar uma rotação anti-horário como positiva é uma convenção humana — ela poderia facilmente ter sido definida da outra forma.

Encontrando padrões

Vamos lidar com os detalhes um pouco mais. Quando você multiplica números negativos (como -1) sucessivamente, você obtém um padrão como:

1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, …

Uma vez que -1 não muda o tamanho de um número, somente o seu sinal, você vai “para trás e para frente”. Para um número qualquer “x”, você obtém:

x, -x, x, -x, x, -x, x, -x, …

Essa ideia é útil. O número “x” pode representar, por exemplo, se você está tendo uma semana boa ou uma ruim. Suponha que você alterne semanas boas e ruins; se esta é uma boa, como será daqui a 47 semanas?

$x \cdot (-1)^{47}=x \cdot -1 = -x$

Então -x representa uma semana ruim. Note como os números negativos “rastreiam o sinal” — podemos jogar $(-1)^{47}$ em uma calculadora sem ter que fazer qualquer conta (“Semana 1 é boa, semana 2 é ruim, semana 3 é boa…”). Coisas que mudam para frente e para trás (cima/baixo, positivo/negativo, bom/ruim), podem ser modeladas com números negativos.

OK. Agora, o que acontece se multiplicarmos por $i$ ?

$1, i, i^2, i^3, i^4, i^5$

Muito engraçado. Vamos reduzir isso:

$1=1$ (Sem problemas);
$i$ = $i$ (Nada a fazer);
$i^2=-1$ (é a essência de $i$ );
$i^3=(i \cdot i) \cdot i=-1 \cdot i = -i$ (Ah, 3 rotações anti-horário = 1 rotação horária. Legal.);
$i^4=(i \cdot i) \cdot (i \cdot i) = -1 \cdot -1 = 1$ (4 rotações dão a volta no círculo);
$i^5=i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$ (Aí vamos nós de novo…)

Representando visualmente:

Damos uma volta a cada 4 rotações. Isso faz sentido, certo? Qualquer criança pode lhe dizer que 4 rotações à esquerda é o mesmo que não dar nenhuma volta. Agora, em vez de focarmos nos números imaginários ( $i$ , $i^2$ ), olhe para o padrão geral:

X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y, …

Assim como os números negativos modelam idas e voltas, os números imaginários podem modelar qualquer coisa que rotaciona entre duas dimensões “X” e “Y”. Ou qualquer coisa com uma relação cíclica, circular — tem algo em mente (que tal senos e cossenos)?

Compreendendo os Números Complexos

Há ainda outro detalhe a ser analisado: pode um número ser ao mesmo tempo “real” e “imaginário”?

Pode apostar. Quem disse que precisamos rodar sempre 90 graus? Se mantivermos 1 pé na dimensão “real” e outro no imaginário, teremos o seguinte:

Temos um ângulo de 45 graus, com partes reais e imaginárias iguais ( $1+i$ ). É como um cachorro quente com mostarda e ketchup — quem disse que você precisa escolher só um molho?

De fato, você pode pegar qualquer combinação de números reais e imaginários e criar um triângulo. O ângulo se torna o “ângulo de rotação”. Um número complexo é um nome pomposo para os números com partes reais e imaginárias. Eles são escritos na forma $a+bi$ , sendo:

$a$ a parte real; e
$b$ a parte imaginária.

Nada mal. Mas há ainda a última questão: quão “grande” é um número complexo? Não podemos medir a parte real ou a imaginária isoladamente porque isso omitiria o quadro geral.

Vamos dar um passo para trás. O tamanho de um número negativo não é dado por uma contagem, mas sim pela distância dele até zero. No caso dos negativos, temos:

$\text{Tamanho de} \ -x = \sqrt{(-x)^2}= \lvert x \rvert$

Que é outro meio de encontrar o valor absoluto. Mas para os números complexos, como podermos medir duas componentes que estão separadas por 90 graus?

É um pássaro… é um avião… não, é o super Pitágoras!

Putz, o seu teorema aparece em todo lugar, mesmo em números inventados 2000 depois do seu tempo. Sim, estamos fazendo um tipo de triângulo, e a hipotenusa é a distância do zero:

$\text{Tamanho de} \ a+bi = \sqrt{a^2+b^2}$

Muito bom. Enquanto medir o tamanho não é tão fácil quanto “tirar o sinal de negativo”, os números complexos têm seus usos específicos. Vamos dar uma olhada.

Um Exemplo real: rotações

Não vamos esperar até a aula de Física da universidade para usar os números imaginários. Vamos tentar usá-los hoje. Há muito mais a dizer sobre a multiplicação de números complexos, mas tenha isto em mente:

Multiplicar por um número complexo é igual a rodar pelo seu ângulo.

Vamos ver. Suponha que eu esteja sobre um barco com a proa virada 3 unidades Leste para cada 4 unidades Norte. Eu quero mudar a direção em 45 graus anti-horário. Qual a nova direção da proa?

Algum figurão irá dizer: “É muito simples! Basta pegar o seno, o cosseno, embolar tudo na tangente… pisar em cima… e…” Crack. Desculpe-me, eu quebrei sua calculadora? Poderia responder a questão de novo?

Vamos tentar uma abordagem mais simples: estamos indo na direção $3+4i$ (qualquer que seja o ângulo; não vamos nos preocupar com isso), e queremos rodar 45 graus. Bem, 45 graus é igual a $1 + i$ , então basta multiplicar por essa quantidade.

Aqui está a ideia:

Direção original: 3 unidades Leste, 4 unidades Norte = $3+4i$ ;
Rotação anti-horária de 45 graus = multiplicar por $1+i$ .

Se multiplicarmos esses números, obteremos:

$\begin{aligned}(3+4i)(1+i) &= 3+3i+4i+4i^2 \\ &= 3+7i \qquad + 4(-1) \\ &= -1+7i \end{aligned}$

Então nossa nova orientação está uma unidade Oeste e 7 unidades Norte, que você poderia desenhar e seguir.

E veja só que legal; encontramos o resultado em 10 segundos, sem falar em senos e cossenos. Não usamos vetores, matrizes ou nos preocupamos com qual quadrante estamos. Usamos apenas Aritmética com um toque de álgebra para a multiplicação cruzada. Os números imaginários agregam as regras de rotação: tudo funciona numa boa.

E ainda melhor, o resultado é útil. Temos uma direção (-1,7) em vez de um ângulo (atan(7/-1) = 98,13°, tendo em mente que estamos no quadrante 2). Como, exatamente, você estava planejando desenhar e seguir esse ângulo? Com o transferidor que você carrega no bolso?

Não, você teria que convertê-lo em cosseno e seno (-0,14° e 0,99°), encontrar uma razão aceitável entre eles (aproximadamente 1 para 7), e esboçar o triângulo. Os números complexos simplificam sua vida, num instante, com precisão e sem calculadora.

Se você é como eu, você vai achar esse uso dos números complexos uma maravilha. Mas se você não achar, bem, eu acho que Matemática não é a sua praia. Sorry.

A Trigonometria é ótima, mas os números complexos podem tornar cálculos horrorosos em contas simples (como calcular cosseno(a+b)). Isso é só a entrada; os próximos artigos irão lhe dar o prato completo.

À parte: algumas pessoas pensam: “Ei, não é útil ter indicações de unidades Norte/Leste em vez de ângulos para seguir”!

Sério? OK, olhe para sua mão direita. Qual o ângulo da base do seu mindinho até o topo do seu indicador? Desejo-lhe boa sorte para tentar descobrir por conta própria.

Com as unidades, você pode ao menos dizer: “Ah, são X centímetros para o lado e Y centímetros para cima”, e ter alguma chance de se orientar corretamente.

Complexos, os números não são…

Esse foi um tour “ciclônico” pelas minhas intuições básicas. Dê uma olhada no primeiro quadro — ele deve fazer sentido agora.

Há muito mais ainda a mostrar sobre esses números belos e doidos, mas meu cérebro se cansou. Meus objetivos eram simples:

Convencer você de que os números complexos eram considerados “coisa de maluco”, mas podem ser úteis (assim como os números negativos eram);
Mostrar como os números complexos podem tornar certos problemas mais fáceis, usando rotações, por exemplo.

Se eu pareço incomodado sobre esse tópico, há uma razão. Os números imaginárias têm sido um mosca na minha sopa por anos — a falta de uma visão intuitiva deles me frustava.

Agora que eu finalmente tive essas intuições, eu estou muito empolgado para dividi-las. Mas é frustante para mim que você esteja lendo este artigo em um blog de um lunático e não em uma sala de aula. Nós engolimos nossas dúvidas e “vamos em frente” porque não procuramos e compartilhamos ideais mais intuitivas. Triste.

Mas é melhor acender uma vela do que reclamar da escuridão: aqui estão meus pensamentos e um de vocês irá vislumbrar um ponto de luz. Pensar que já entendemos “tudo” sobre um tópico [complexo] como os números é o que nos mantém presos às ideias de sempre.

Há muito mais sobre os números complexos: veja os detalhes da aritmética complexa. Happy math.

Epílogo: …mas ainda são estranhos!

Eu sei, eles ainda são estranhos para mim também. Eu tento me colocar na cabeça da primeira pessoa a descobrir o zero.

O zero é uma ideia bastante esquisita em que “algo” representa “nada”, e ele não foi compreendido pelos romanos. Os números complexos são similares — é uma nova forma de pensar. Mas tanto o zero quanto os números complexos fazem a matemática muito mais fácil. Se não tivéssemos adotado novos (e estranhos) sistemas numéricos, ainda estaríamos contando com os dedos.

Eu repito essa analogia porque é tão fácil começar a pensar que os números complexos não são “normais”. Vamos manter nossa menta aberta: no futuro, todos vão rir ao pensar que os números complexos não eram levados a sério, mesmo nos anos 2000.

Se você quiser mais do básico, veja a Wikipedia, a discussão em Dr. Math ou outra argumentação sobre por que os números imaginários existem [todos em inglês].

FredericoBT

Um guia intuitivo e visual para os números imaginários

Entendendo realmente números negativos

Adentrando os números imaginários

Compreensão visual dos negativos e dos complexos

Encontrando padrões

Compreendendo os Números Complexos

Um Exemplo real: rotações

Complexos, os números não são…

Epílogo: …mas ainda são estranhos!

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