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Uma linha é feita de infinitos pontos?

Eu teria cuidado e evitaria utilizar “feita de” para descrever a relação entre pontos e linhas. Pontos não são coisas per se, sendo melhor entendidos como localizações no espaço. Aqui, o espaço é entendido no sentido geral, ou seja, com qualquer número de dimensões, e não especificamente espaço tridimensional.

No espaço n-dimensional de valor real, um ponto no espaço pode ser definido pela distância da origem utilizando n números reais, um para cada dimensão. Uma linha pode ser definida em termos de dois desses pontos, de modo a que estes dois pontos definam onde a linha começa e termina. Assim, por exemplo, se estamos no espaço unidimensional (ou seja, basicamente uma linha numérica), e temos dois pontos p_1=3 e p_2=8, podemos definir uma linha L para ser essa linha que começa em p_1 e termina em p_2. A nossa linha, L=(p_1,p_2), tem um comprimento igual a 5 (na verdade, uma forma de ver que os pontos não formam linhas é reconhecer que os pontos não têm comprimento e, portanto, uma soma dos seus comprimentos, mesmo infinitamente muitos deles, não pode resultar em nada).

Uma questão melhor é se uma linha de comprimento finito pode ser dividida infinitas vezes. Se não pudesse, poderíamos chegar ao menor comprimento em um número finito de passos. Digamos que a linha L é dividida ao meio. Agora tem-se duas linhas L_1 e L_2. Cada uma destas linhas começa e termina em dois pontos. Onde inicialmente tínhamos dois pontos únicos que definiam L, agora temos três pontos únicos porque L_1 termina no mesmo ponto em que L_2 começa. Cada linha pode ser dividida mais vezes da mesma maneira. Se a nossa linha existir sobre a linha dos números reais, podemos continuar a dividi-la indefinidamente.

Aqui é onde penso que nos aproximamos mais da pergunta inicial. O número de linhas após cada divisão duplica de tal forma que após d divisões de todas as linhas que temos, ficamos com 2^d linhas e 2^d+1 pontos únicos, ou o número de linhas mais um. E, à medida que o número de divisões d tende ao infinito, o mesmo acontece com o número de pontos.

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