Aritmética intuitiva com números complexos

Tradução de Intuitive Arithmetic With Complex Numbers – BetterExplained

Os números imaginários têm uma explicação intuitiva: eles “rodam” os números, assim como os negativos criam uma “imagem espelhada” de um número. Essa intuição torna a aritmética com números complexos fácil de entender e é um excelente meio de conferir seus resultados. Aqui está nossa tabela de dicas:

Este post irá caminhar através de significados intuitivos.

Variáveis complexas

Na álgebra tradicional, nós geralmente dizemos $x=3$ e está tudo certinho — existe algum número $x$ cujo valor é $3$. Com números complexos, existe um empecilho: são duas dimensões para considerar. Quando escrevemos

$z=3+4i$

estamos dizendo que existe um número $z$ com duas partes: $3$ (a parte real) e $4i$ (parte imaginária). É um pouco estranho que “um” número possa ter duas partes, mas já estamos lidando com isso há algum tempo. Nós geralmente escrevemos:

$y=3\dfrac{4}{10}=3+0,4$

e não nos incomoda que um único número $y$ tenha tanto uma parte inteira ($3$) quanto uma fracionada ($0,4$ ou $4/10$). $y$ é uma combinação de dois elementos. Os números complexos são similares: eles têm suas partes reais e imaginárias “contidas” em uma única variável (as abreviações são geralmente $\text{Re}$ e $\text{Im}$).

Infelizmente, não temos uma notação legal como $3,4$ para “fundir” as partes em um único número. Eu tinha uma ideia para escrever a parte imaginária verticalmente, mas ela não era muito popular. Então vamos nos ater ao formato $a+bi$.

Medindo o tamanho

Uma vez que os números complexos usam dois eixos independentes, encontramos seu tamanho (magnitude) usando o teorema de Pitágoras:

Então, um número $z=3+4i$ terá magnitude $5$. O atalho para “magnitude de $z$” é este: $\lvert z \rvert$.

Vê como ele se parece com o sinal do valor absoluto? Bem, de certa forma, é a mesma coisa. A magnitude “mede a distância” de um número complexo até o zero, assim como o valor absoluto “mede a distância” de um número negativo até o zero.

Adições e substrações complexas

Já vimos que a adição usual pode ser pensada como um “deslocamento” por certo número. A adição com números complexos é parecida, mas podemos fazer o deslocamento em duas dimensões (real e imaginária). Por exemplo:

Somar $(3+4i)$ a $(-1+1i)$ dá $(2+5i)$.

Novamente, esta é uma interpretação visual de como “componentes independentes” são combinadas: seguimos as partes reais e imaginárias separadamente.

A subtração é o reverso da adição — é um deslocamento na direção oposta. Subtrair $(1+i)$ é o mesmo que somar $(-1) \times (1+i)$ ou somar $(-1-i)$.

Multiplicação complexa

Aqui é onde a Matemática fica interessante. Quando multiplicamos dois números complexos $x$ e $y$ para obter $z$:

• Some os ângulos: $\text{angulo}(z) = \text{angulo}(x) + \text{angulo}(y)$;
• Multiplique as magnitudes: $\lvert z \rvert = \lvert x \rvert \times \lvert y \rvert$.

Isso é, o ângulo de $z$ é a soma dos ângulos de $x$ e $y$ e a magnitude de $z$ é o produto das magnitudes. Acredite ou não, a mágica dos números complexos faz a Matemática funcionar!

Multiplicar pela magnitude (tamanho) faz sentido — estamos acostumados ao que acontece em uma multiplicação usual ($3 \times 4$ significa multiplicar $3$ pelo tamanho de $4$). A razão da adição dos ângulos funcionar é mais detalhada, e vamos deixá-la para outra hora. (Curioso(a)? Encontre as fórmulas de adição de senos e cossenos e compare-as com o resultado da multiplicação de $(a+bi) \times (c+di)$).

Hora de um exemplo: vamos multiplicar $z=3+4i$ por ele mesmo. Antes de fazer todas as contas, sabemos algumas coisas:

• A magnitude resultante será $25$. $z$ tem magnitude $5$, então $\lvert z \rvert \times \lvert z \rvert = 25$;
• O ângulo resultante será maior do que 90 graus. $3+4i$ é maior do que 45 graus (uma vez que $3+3i$ resultaria em 45 graus), então o dobro do ângulo será maior do que 90.

Com nossas previsões no papel, podemos fazer um pouco da matemática:

$(3+4i) \times (3+4i) = 9 + 16i^2 + 24 i = -7 + 24i$

Hora de conferir nossos resultados:

• Magnitude: $\sqrt{(-7)^2 + (24)^2} = \sqrt{625}=25$, que confere com nossa conjectura;
• Ângulo: uma vez que $-7$ é negativo e $24i$ é positivo, sabemos que estamos “na parte de trás do eixo” e “para cima”, o que significa que ultrapassamos a marca de 90 graus (“eixo vertical”). Entrando nas complicações, usamos a calculadora para $\text{arctan}(24/-7)=106,26$ graus¹ (tendo em mente que estamos no quadrante 2). Esse resultado também bate com a previsão inicial.

Legal. Se podemos sempre fazer todos os cálculos, a intuição sobre rotações e escalas nos ajudam a conferir o resultado. Se o ângulo resultante fosse menor do que 90 graus (“para frente  para cima”, por exemplo) ou se o resultado não fosse 25, saberíamos que algo deu errado nas contas.

Divisão complexa

A divisão é o oposto da multiplicação, assim como a subtração é o oposto da adição. Quando dividimos números complexos ($x$ dividido por $y$):

• Subtraia os ângulos: $\text{angulo}(z) = \text{angulo}(x) - \text{angulo}(y)$;
• Divida as magnitudes: $\lvert z \rvert = \lvert x \rvert / \lvert y \rvert$.

Soa bem. Agora vamos a um exemplo:

$\dfrac{3+4i}{1+i}$

Hum… por onde começar? Como nós fazemos realmente a divisão? Divisões algébricas básicas já me dão arrepios, imagina só com essa esquisitice do $i$. (Senhor, senhor! Você sabia que $1/i=-i$? Basta multiplicar ambos os lados por $i$ e veja você mesmo o que acontece! Eek.). Por sorte, existe um atalho!

Introduzindo os números complexos

Nosso primeiro objetivo é subtrair os ângulos. Como fazemos isso? Multiplicando pelo ângulo oposto! Isso irá “somar” um ângulo negativo, que é o equivalente da subtração do ângulo original.

Em vez de $z=a+bi$, pense sobre um número $z^*=a-bi$, chamado “complexo conjugado”. Ele tem a mesma parte real, mas a parte imaginária é “espelhada”. O conjugado ou “reflexo imaginário” tem a mesma magnitude, mas o ângulo oposto!

Então, multiplicar por $a-bi$ é o mesmo que subtrair o ângulo. Legal.

Complexos conjugados são indicados por um asterisco ($z^*$) ou por uma barra sobre a variável — matemáticos adoram discutir sobre essas convenções para as notações. De todo modo, o conjugado é um número complexo com parte imaginária “girada”.

Note que a parte imaginária não precisa ser necessariamente negativa. Se $z=3-4i$, então $z^*=3+4i$.

Multiplicando pelo conjugado

O que acontece quando você multiplica pelo conjugado? O que é $z$ vezes $z^*$? Sem pensar, pense sobre isto:

$z \cdot z^* = 1 \cdot z \cdot z^*$

Pegamos o número 1 (real), adicionamos o ângulo($z$) e depois o ângulo($z^*$). Mas este último ângulo é negativo — temos uma subtração! Então nosso resultado final deve ser um número real, uma vez que cancelamos os ângulos. O número deve ser $\lvert z \rvert^2$, já que escalamos duas vezes.

Agora vamos a um exemplo:

$(3+4i) \times (3-4i) = 9 - 16i^2 = 25$

Obtivemos um número real, como esperado! Os fãs da Matemática podem tentar a álgebra também:

$(a+bi) \times (a-bi) = a^2+abi-abi+b^2=a^2+b^2$

Tãdã! O resultado não tem parte imaginária e a magnitude é elevada ao quadrado. Entender os complexos conjugados como uma “rotação negativa” nos permite prever esses resultados de uma forma diferente.

Escalando seus números

Quando multiplicamos pelo conjugado $z^*$, escalamos pela magnitude $\lvert z^* \rvert$. Para reverter esse efeito, podemos dividir por $\lvert z \rvert$ e para realmente encolher por $\lvert z \rvert$, temos que dividir novamente. Em outras palavras, para obter o número original após uma multiplicação pelo conjugado, temos que dividir o resultado por $\lvert z \rvert \times \lvert z \rvert$.

Mostre-me a divisão!

Eu venho evitando a divisão e aqui está a mágica. Se queremos resolver

$\dfrac{3+4i}{1+i}$

Podemos usar uma abordagem intuitiva:

• Rotacionando pelo ângulo oposto: multiplicar por $(1-i)$ em vezes de $(1+i)$;
• Dividir pela magnitude ao quadrado: dividir por $\lvert \sqrt{2} \rvert^2=2$.

A resposta, utilizando essa abordagem, é:

$\dfrac{3+4i}{1+i}=(3+4i) \cdot (1-i) \cdot \dfrac{1}{2}=(3-4i^2+4i-3i) \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{2}i$

O método tradicional “arroz com feijão” envolve multiplicar em cima e embaixo pelo complexo conjugado:

$\dfrac{3+4i}{1+i}=\dfrac{3+4i}{1+i}\cdot \dfrac{1-i}{1-i}= \dfrac{3-4i^2-4i-3i}{1-i^2}= \dfrac{7+i}{2}$

Somos ensinados tradicionalmente a “apenas multiplicar ambos os lados pelo complexo conjugado” sem questionar o que a divisão complexa realmente significa. Mas não hoje.

Nós sabemos o que está acontecendo: a divisão é igual a subtrair um ângulo e encolher a magnitude. Ao multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado, subtraímos pelo ângulo de ($i-i$), o que torna o denominador um número real (não é uma coincidência, uma vez que usamos exatamente o ângulo oposto). Escalamos tanto o numerador quanto o denominador da mesma quantidade, então os efeitos se cancelam. O resultado é tornar a divisão em uma multiplicação no numerador.

Ambas as abordagens funcionam (normalmente você aprende a segunda na escola), mas é usar as duas para conferir os resultados.

Mais alguns truques matemáticos

Agora que nós entendemos o conjugado, existem algumas propriedades que merecem nossa atenção:

$(x+y)^*=x^*+y^*$

$(x \cdot y)^*=x^* \cdot y^*$

A primeira deve fazer mais sentido. Somar dois números e “refleti-los” (“conjugá-los”) é o mesmo que somar as suas reflexões. Outro modo de pensar: deslocar dois números e então tomar os seus opostos é o mesmo que deslocar ambos no sentido oposto.

A segunda propriedade é mais complicada. Claro, a álgebra deve funcionar, mas qual é a explicação intuitiva?

O resultado $(x \cdot y)^*$ significa:

• Multiplique as magnitudes: $\lvert x \rvert \times \lvert y \rvert$;
• Some os ângulos e tome o conjugado (oposto): $\text{angulo}(x)+\text{angulo}(y)$ se torna $-\text{angulo}(x)+ -\text{angulo}(y)$

E $x^* \cdot y^*$ significa:

• Multiplique as magnitudes: $\lvert x \rvert \times \lvert y \rvert$ (o mesmo de antes);
• Some os ângulos conjugados: $\text{angulo}(x)+\text{angulo}(y)= -\text{angulo}(x)+-\text{angulo}(y)$.

Aha! Obtivemos os mesmos ângulos e magnitudes em ambos os casos, e nós não tivemos que passar para nenhuma explicação algébrica tradicional. A Álgebra é muito boa, mas não dá sempre a melhor explicação.

Um exemplo rápido

O conjugado é um modo de “desfazer” a rotação. Pense sobre isso da seguinte maneira:

• Eu deposito R$3,00, R$ 10,00, R$15,75 e R$ 23,50 na minha conta. Qual transação irá cancelá-las? Para encontrar o oposto: some todos os depósitos e multiplique por -1.
• Eu rotaciono uma linha fazendo várias multiplicações: $(3+4i)$, $(1+i)$ e $(2+10i)$. Qual rotação irá cancelá-las? Para encontrar o oposto: multiplique todos os números complexos e então tire o conjugado do resultado.

Veja o conjugado $z^*$ como um meio de “cancelar” os efeitos de rotação de $z$, assim como um número negativo “cancela” os efeitos da adição. Um alerta: com conjugados, você precisa dividir por $\lvert z \rvert \times \lvert z \rvert$ para remover os efeitos de uma mudança de escala.

Pensamentos finais

A matemática aqui não é nova, mas eu nunca havia me tocado do porquê os conjugados complexos funcionarem como eles funcionam. Por que $a+bi$ e não $-a+bi$. Bem, os complexos conjugados não são uma escolha aleatória, mas uma imagem refletida de uma perspectiva imaginária, com o ângulo oposto exato.

Ver os números imaginárias como rotações nos são uma nova mentalidade (mindset) para enfrentar os problemas matemáticos; as fórmulas “arroz com feijão” pode ter um sentido intuitivo, mesmo para tópicos estranhos como números complexos. Happy math.