As Pérolas do Rajá - Solução Algébrica

Do livro “O homem que calculava”, de Malba Tahan (pseudônimo de professor e escritor Julio César de Mello e Souza):

Um rajá deixou certa quantidade de pérolas como herança para as filhas, determinando que a divisão fosse feita segundo suas idades: a mais velha escolheria 1 pérola e mais um sétimo do restante; depois, a 2ª escolheria 2 pérolas e mais um sétimo do restante; a 3ª escolheria 3 pérolas e mais um sétimo do restante e assim sucessivamente. As filhas mais moças, porém, apresentaram queixa a um juiz, alegando que esse sistema de partilha as prejudicaria. O juiz, todavia (hábil na resolução de problemas), respondeu que as reclamantes estavam enganadas e que a divisão proposta era justa e perfeita. De fato, feita a partilha, cada uma recebeu a mesma quantidade de pérolas. Pergunta-se: quais eram a quantidade de pérolas e o número de filhas do rajá?

Escolhemos a incógnita $p$ para a quantidade total de pérolas. A primeira filha retirou uma quantidade de pérolas igual a:

$1 + \dfrac{1}{7}(p-1) = \dfrac{p+6}{7}$

Após essa primeira retirada, restou o seguinte:

$p-\left(\dfrac{p+6}{7}\right) = \dfrac{6p}{7}-\dfrac{6}{7}$

A segunda filha recolheu para si duas pérolas mais um sétimo do restante, que é igual à quantidade acima menos as duas pérolas recém retiradas:

$2 + \dfrac{1}{7}\left(\dfrac{6p}{7}-\dfrac{6}{7} - 2\right) = \dfrac{6p+78}{49}$

Uma vez que cada filha recebeu parcelas iguais da herança, podemos igualar as quantidades retiradas pela primeira e pela segunda filha:

$\dfrac{p+6}{7} = \dfrac{6p+78}{49}$

Alterando o primeiro termo para que ambas as frações tenham o mesmo denominador e resolvendo para $p$, temos:

$\dfrac{7p+42}{49} = \dfrac{6p+78}{49}$

$7p+42 = 6p + 78$

$p = 36$

Portanto, a herança continha 36 pérolas.

Para encontrar o número de filhas algebricamente, usamos o seguinte raciocínio:

• a 1ª filha retira 1 pérola mais um sétimo do restante;
• a 2ª filha retira 2 pérolas mais um sétimo do restante;
• a 3ª filha retira 3 pérolas mais um sétimo do restante;
• …;
• a enésima filha (filha $n$), que é a última, recebe $n$ pérolas (se houvesse pérolas para ela retirar mais um sétimo, sobrariam ainda seis sétimos, e esta não seria a última filha).

Como as parcelas da herança de cada uma das $n$ filhas são iguais, cada uma delas recebeu $n$ pérolas (a herança da última filha). Portanto, podemos escrever:

$n \times n = p$

$n^2 = 36$

$n = 6$

Finalizando o problema, concluímos que a herança continha 36 pérolas e que o rajá tinha 6 filhas.