|

Uma reta é composta de infinitos pontos?

Eu teria cuidado e evitaria utilizar “feita de” para descrever a relação entre pontos e retas. Pontos não são coisas per se, sendo melhor entendidos como localizações no espaço. Aqui, o espaço é entendido no sentido geral, ou seja, com qualquer número de dimensões, e não especificamente espaço tridimensional.

No espaço n-dimensional de valor real, um ponto no espaço pode ser definido pela distância da origem utilizando n números reais, um para cada dimensão. Um segmento de reta pode ser definido em termos de dois desses pontos, de modo a que estes dois pontos definam onde o segmento começa e termina. Assim, por exemplo, se estamos no espaço unidimensional (ou seja, basicamente uma reta numérica), e temos dois pontos p_1=3 e p_2=8, podemos definir um segmento L para ser esse segmento que começa em p_1 e termina em p_2. O nosso segmento, L=(p_1,p_2), tem um comprimento igual a 5 (na verdade, uma forma de ver que os pontos não formam retas é reconhecer que os pontos não têm comprimento e, portanto, uma soma dos seus comprimentos, mesmo infinitamente muitos deles, não pode resultar em nada).

Uma questão melhor é se um segmento de reta de comprimento finito pode ser dividido infinitas vezes. Se não pudesse, poderíamos chegar ao menor comprimento em um número finito de passos. Digamos que o segmento L é dividido ao meio. Agora tem-se dois segmentos L_1 e L_2. Cada um destes segmentos começa e termina em dois pontos. Onde inicialmente tínhamos dois pontos únicos que definiam L, agora temos três pontos únicos porque L_1 termina no mesmo ponto em que L_2 começa. Cada segmento pode ser dividido mais vezes da mesma maneira. Se o nosso segmento existir sobre a reta dos números reais, podemos continuar a dividi-lo indefinidamente.

Aqui é onde penso que nos aproximamos mais da pergunta inicial. O número de segmentos após cada divisão duplica de tal forma que após d divisões de todos os segmentos que temos, ficamos com 2^d segmentos e 2^d+1 pontos únicos, ou o número de segmentos mais um. E, à medida que o número de divisões d tende ao infinito, o mesmo acontece com o número de pontos.

Share Your Thoughts

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

Artigos Recentes

Por Frederico B. Teixeira. CC BY-NC-SA.

Cólofon. WP 6.3. Topo ↑.